Auf der ersten Seite hieß es, es gebe nur zwölf Töne. Aber warum zwölf, und warum genau diese zwölf? Die Antwort steckt darin, wie Saiten schwingen. Auf dieser Seite wird etwas mehr gerechnet als auf den anderen. Du kannst sie überspringen und später zurückkommen, aber sie erklärt eine Menge.
Ab hier bekommen Töne eine Zahl hinter dem Buchstaben, etwa A4 oder A2. A4 ist das A in der Mitte des Klaviers, A2 liegt zwei Oktaven tiefer. Die Zahl sagt dir, in welcher Oktave ein Ton liegt. Mehr dazu auf der nächsten Seite.
Ein Intervall ist der Abstand zwischen zwei Tönen. Manche Intervalle verschmelzen beim Zusammenklang, man nennt sie konsonant. Andere reiben sich, sie sind dissonant. Um zu sehen, warum, fangen wir mit einer einzelnen Saite an.
Eine gezupfte Saite schwingt nicht nur mit einer einzigen . Sie schwingt als Ganzes und zugleich in Hälften, Dritteln, Vierteln und so weiter. Dadurch kommen zum tiefsten Ton leisere, höhere Töne dazu, die Obertöne, beim 2-, 3-, 4-, 5-Fachen … der Frequenz. Zusammen bilden sie die Obertonreihe (auch Naturtonreihe). Hier ist A2 (110 Hz) mit seinen ersten Obertönen (1× ist der Ton selbst):
Benachbarte Obertöne ergeben die konsonantesten Intervalle. Ihre Frequenzen stehen in einfachen Verhältnissen, deshalb passen auch ihre eigenen Obertöne zusammen. Die doppelte Frequenz (2:1) ist die , die du schon kennst. Das Verhältnis 3:2 heißt Quinte (lateinisch „die Fünfte“), weil es von C bis G fünf Buchstaben umfasst: C D E F G (7 ). Genauso ist 4:3 eine Quarte (vier Buchstaben, C bis F: 5 Halbtöne) und 5:4 eine große Terz (drei Buchstaben, C bis E: 4 Halbtöne). Diese Intervalle lernst du im Kapitel Tonleitern genauer kennen.
Nach der Oktave ist die Quinte (3:2) das konsonanteste Intervall. Gewinnen wir also Töne aus ihr: Wir beginnen bei C und gehen immer wieder eine Quinte nach oben. Jeden neuen Ton verschieben wir um Oktaven nach unten, damit alle in einer Oktave bleiben: C, G, D, A, E, B, F♯ … (Musiker stellen das als Quintenzirkel dar. Er bekommt später ein eigenes Kapitel.)
| Quinten aufwärts | Ton | Halbtöne über C | Abweichung vom gleichstufigen Ton |
|---|---|---|---|
| 0 | C | 0 | ±0,0 Cent |
| 1 | G | 7 | +2,0 Cent |
| 2 | D | 2 | +3,9 Cent |
| 3 | A | 9 | +5,9 Cent |
| 4 | E | 4 | +7,8 Cent |
| 5 | B | 11 | +9,8 Cent |
| 6 | F♯ | 6 | +11,7 Cent |
| 7 | C♯ | 1 | +13,7 Cent |
| 8 | G♯ | 8 | +15,6 Cent |
| 9 | D♯ | 3 | +17,6 Cent |
| 10 | A♯ | 10 | +19,6 Cent |
| 11 | E♯ | 5 | +21,5 Cent |
| 12 | B♯ | 0 | +23,5 Cent |
(Ein Cent ist ein Hundertstel eines Halbtons. Unter etwa 5 Cent hören die meisten Menschen keinen Unterschied. Die letzte Spalte zeigt, wie weit jeder Ton vom selben Ton auf einem modernen Klavier entfernt ist. Mehr dazu weiter unten.)
Schau, was die ersten Quinten ergeben:
Die Stammtöne sind also sieben Nachbarn im Quintenzirkel, und die fünf Töne mit Kreuz oder b sind die nächsten fünf. Darum zwölf: Nach zwölf Quinten kommt man wieder am Anfang an.
Das „fast“ ist der Haken. Zwölf reine Quinten sind ein kleines Stück größer als sieben Oktaven, um etwa 23,5 Cent, ein Viertel eines Halbtons. Diese kleine Lücke heißt pythagoreisches Komma. B♯ landet etwas höher als C. Hör dir beide zusammen an. Die langsame Schwebung (das Wabern im Klang) ist die Abweichung:
Die Lösung, die heute fast jedes Instrument benutzt, ist die gleichstufige Stimmung: Alle zwölf Halbtöne werden genau gleich groß gemacht, sodass zwölf von ihnen genau eine Oktave ergeben. Jeder Halbton multipliziert die Frequenz mit der zwölften Wurzel aus 2, etwa 1,0595: jedes Mal 5,9 % höher. (Das sind die „etwa 6 %“ aus der Lektion „Die Töne“.)
Die Quinte ist dann ein winziges bisschen kleiner als naturrein, nur um 2 Cent, so wenig, dass es kaum jemand bemerkt. Die Terzen weichen stärker ab, aber an diesen Klang sind wir gewöhnt. „Rein“ ist in der Tabelle übrigens der traditionelle Name für Quarte, Quinte und Oktave (reine Quinte). „Naturrein“ dagegen heißt: genau im einfachen Verhältnis gestimmt. Die kleine Terz (6:5, 3 Halbtöne, etwa von C nach E♭) ist die kleinere Schwester der großen Terz. Vergleich selbst:
| Intervall | Naturrein | Gleichstufig | Unterschied | Anhören |
|---|---|---|---|---|
| Reine Oktave | 2:1 (2,000) | 2,000 | ±0,0 Cent | |
| Reine Quinte | 3:2 (1,500) | 1,498 | −2,0 Cent | |
| Reine Quarte | 4:3 (1,333) | 1,335 | +2,0 Cent | |
| Große Terz | 5:4 (1,250) | 1,260 | +13,7 Cent | |
| Kleine Terz | 6:5 (1,200) | 1,189 | −15,6 Cent |
Dafür gewinnen wir: Ein Stück klingt in jeder der zwölf Tonarten gleich sauber, und Musik kann frei zwischen den Tonarten wechseln. Wie nützlich das ist, sehen wir im Kapitel Tonarten.
Ein Ton muss festgelegt werden, der Rest ergibt sich daraus. Heute ist das der Kammerton A4 = 440 Hz (in deutschen Büchern a¹, das „eingestrichene a“). Viele Orchester stimmen etwas höher, auf 442 oder 443 Hz. Für jeden anderen Ton nimmst du 440 Hz und multiplizierst für jeden Halbton aufwärts einmal mit 1,0595 (oder teilst, wenn es abwärts geht). Diese Seite berechnet jede Frequenz, die sie spielt, genau so. Das mittlere C (C4, in deutschen Büchern c¹) ist das C, das der Mitte des Klaviers am nächsten liegt: